На последнем занятии по магическим исчислениям в этом году Конев выглядел даже более расслаблено, чем обычно – на этот раз он не дремал, однако все так же фамильярно закинул ноги на стол и игрался с небольшой водяной каплей, гоняя ее магией по замысловатым орбитам вокруг себя. Когда ученики, наконец, расселись по своим местам, Конев щелчком пальцев заставил каплю попросту исчезнуть и приветственно махнул рукой аудитории:

​

- Добро пожаловать на итог нашего путешествия по миру числового символизма. Предыдущая лекция была сложной и заставляла вас много думать, чтобы понять, о чем я вообще говорил – сегодня же подумать тоже придется, однако больше в сфере творческого поиска. Причина в том, что всю фундаментальную основу числовых исчислений я вам уже рассказал – это та основа, которую вы сможете с пользой применить в своих дальнейших изысканиях без необходимости глубокого и, я бы сказал, профильного погружения в материал. Однако именно тому сценарию, когда погрузиться дальше все же захочется, и будет посвящена эта лекция.

​

Для начала отмечу, что все, что я скажу дальше – описание концептов и идей, не законы. Парадигма Магических Исчислений юна, была создана мною лишь несколько лет назад и, пусть в мире уже витали схожие идеи, есть еще множество тем, что я не касался даже в черновом варианте – а ведь после чернового, должны последовать и чистовые, а после и сравнение таковых, конкуренция и выбор самого эффективного. По этой причине, какой бы подход вы ни выбрали и какие значения бы не избрали, вы будете в своем праве – и разумеется, ваша магия будет работать, подкрепленная вашей силой и верой. Такая хаотичная область позволит вам необычайную гибкость и свободу, однако платить придется повышенной сложностью применения, ибо не будет незримо стоящей за вашим плечом воли сотен других магов, исповедующих ту же парадигму.

​

Итак, очертим же границы изведанного и неизведанного. Все приемы, что мы использовали ранее, это не более, чем простейшая арифметика и черчение базовых геометрических фигур. Мы не ушли дальше натуральных чисел – не дошли даже до множества целых, за которым бы последовали рациональные, действительные и, наконец, комплексные. Ограничу также сразу область вашей мысли – мы говорим сейчас о символизме чистой математики, не переводя ее в статус инструмента для физических процессов, ибо этим мы с вами займемся в следующем семестре. Таким образом, давайте подумаем немного об этих новых для нас множествах и о том, что может ими отображаться.

 

Целые – это множество чисел, которое мы получим из множества натуральных, добавив к ним ноль (если его там еще не было), а также числа, обратные натуральным – то есть «-1», «-2» и так далее. Раньше я упоминал, да, что отрицательные нам не нужны, но это, очевидно, было упрощением – при естественном счете отрицательных целых чисел, разумеется, не возникает, возникают только натуральные, и именно поэтому они так и называются. Однако всегда можно найти что-то с противоположными знаками: светлая магия и темная, лед и огонь, наличие и отсутствие. Нужна лишь ваша воля, чтобы связать эти понятия – и, разумеется, магическое значение, о котором вам придется подумать самим. Обращу внимание, что отчасти мы уже работали с отрицательными числами для арифметических прогрессий с отрицательным шагом: вычесть положительное число – это то же самое, что прибавить отрицательное.

 

Название «рациональные» происходят от латинского «ratio», «отношение» или «деление». То есть это множество всех чисел, что получаются путем деления целого числа на натуральное. Деление целого на целое тоже, разумеется, даст рациональное, однако строгое определение дается именно в таком виде и более математически изящно. Очевидно, что все натуральные и целые числа рациональны – любое из них можно получить, поделив какое-нибудь число, кратное им, на величину кратности. Однако тут уже мы имеем дело и с числами типа «пяти третьих», «семнадцати целых и двадцати пяти сотых», или, например, «три-и-три-в-периоде». Обращу внимание, что записи в виде смешанного числа, обычной и десятичной дробей все одинаково корректны и приемлемы. А также на то, что все рациональные числа в десятичной форме или конечны, или бесконечны и периодичны. При нахождении символов и магических значений для рациональных чисел избегайте простого пути в виде привязки к физическим параметрам типа массы – вы так зайдете в уже проработанную область естественных исчислений, что вас ждет в следующем курсе. А еще мне кажется любопытной идеей использовать факт того, что мощность множества рациональных чисел от 0 до 1 равна мощности множества всех рациональных чисел.

 

Действительные числа – это множество, объединяющее рациональные и иррациональные числа, то есть такие, которые уже нельзя выразить отношением целого и натурального числа. Тем не менее, иррациональные числа у нас повсюду, с самым известным примером в виде отношения длины окружности к ее диаметру, то есть числа Пи. Также иррациональными являются корни любых чисел, что не являются соответствующей степенью другого числа, как, например, квадратный корень двух или кубический – от четырех. Все иррациональные числа в записи в виде десятичной дроби бесконечны и непериодичны. Я предлагаю начать думать об их использовании только в случае введения в исчисления функций помимо прямой и обратной пропорциональности.

 

И, наконец, комплексные числа – это множество чисел вида a+bi, где a и b – действительные, а i – мнимая единица, для которой выполняется i^2 = -1. Если вы когда-либо столь преисполнитесь, что полностью структурируете в рамках МагИса действительные числа и все, что были до них, то у меня есть идея соотнести мнимость с нематериальным планом нашего мира – эдакого ближнего Междумирья, где обитают отражения наших мыслей, концептов и эмоций, и на котором во многом основано само существование нашей магии. Вы должны были касаться этого концепта на лекциях по параллельным мирам, а полное понимание возможно при прочтении теории магии… Материалы по которой находятся, к сожалению, или лишь в библиотеке учительской, в которую у вас нет доступа, или в кабинете заклинаний, который, увы, закрыт на ремонт, а потому тоже недоступен. Однако если вам вдруг потребуются соответствующие материалы – можете обратиться ко мне через зудильник или напрямую.  

 

Конев посмотрел на часы, хмыкнул и продолжил:

 

- Хорошо, что в этот раз моя пара у вас последняя, да? Могу вас задержать побольше без особых проблем. Как вы могли заметить, все вышесказанное относится к алгебре, однако геометрия в моем представлении остается несколько вторичной. Можете подумать над кривыми второго порядка примерно одновременно с функциями, а также о вспомогательных построениях для фигур типа биссектрис, медиан или срединных перпендикуляров во время разбора рациональных чисел – для мнимых чисел я лично никаких прямо связанных новых идей придумать не могу. Можете попробовать прикрутить как-то топологию – вариант многообещающий, но хранит Свет ваши души и разум при такой попытке. Ну а на этом, собственно, все. Домашнее задание будет необычным и состоять лишь из одного пункта: придумать любое новое правило, трактовку или закономерность для Числовых исчислений, основываясь на материале лекции или игнорируя его по вашему выбору.